『集合』(set)

(D.) Menge(メンゲ)      
(Fr.) ensemble(アンサーンブル)
(Ita.) insieme(インシエメ)   

要素,元,属する,展示型の表現,選別型の表現
有限集合,無限集合

 物の集まりを「集合」といいますが,これは定義ではありません。言い換えただけです。集合は定義しないで用いる無定義用語です。
 集合 S, … から成るとき,, … を S の要素または元 (elements) といい,このとき
     S = { , … }
と表します。このように要素を“書き並べて表す表し方" を集合の“外延的表現”といいますが,この教室では,“展示型の表現”と呼ぶことにします。
 集合 S が有限個の要素を含むとき,S を有限集合 (finite set) といい, 集合 S が無限個の要素を含むとき,S を無限集合 (infinite set) といいます。
 要素の個数があまり多くないときは,集合を表すのに展示型の表現を用いてもよいのですが,無限集合や要素の個数が多い有限集合に対して展示型の表現は良い表し方であるとは言えません。それらの集合に対しては,命題関数 真理集合としてS
     
と表すことができれば便利です。この表し方を“内包的表現”といいますが,これは命題関数が成り立つような要素だけを選別して集める表し方なので,この教室では “選別型の表現”と呼ぶことにします。
  が集合 S の要素であることを S に属する ( belongs to S ) ,または S に含まれるといい, で表します。また,その否定 で表します。
 集合 AB があり,A に属する任意の要素が B に属し,B に属する任意の要素が A に属するとき,AB等しいといい、 A = B と表します。
 (2018年3月26日改訂)