『命題関数』(propositionl function)

(D.) propositionale Funktion 
(Fra.) function propositionnelle
(Ita.) funzione proposizionale 

真理集合

 変数 を含み,を定めると命題となる文章やなどを の命題関数といいます。命題関数は厳密にいえば命題ではありませんが,混乱しない場合は単に命題ということもあります。
 たとえば,実数全体の集合定義域とする の命題関数
   3 + 2 > 14
= 5 のときの関数値は命題
    17 > 14
で,これは真である命題ですが, = 2 のときの関数値は命題
   8 > 14
であり,これは偽である命題です。
 命題関数に含まれる変数は1つとは限りません。たとえば
   4+ 3 = 7 
は2つの変数 , を含む命題関数の例です。
  の命題関数 が真であるような の値全体の集合 の真理集合といいます。たとえば, :「 3 + 2 > 14 」の真理集合は
      {|} = {| 3 + 2 > 14 } = {| > 4 }
です。変数が2個以上の命題関数の場合も同様です。
 真理集合は現代の数学の基礎である論理学と集合論(集合についての理論)とを結びつける重要な役割を果たしていると言えます。
 高校の教科書では の命題関数をふつう,「 についての 条件 」といいますが,それは に対応する関数値が命題であるような関数,すなわち,が命題であるような写像を高校では学ばないからです。
 (2017年11月19日改訂)