『関係』(relation)

(D.) Beziehung (Fra.) rapport (Ita.) relazione

2項関係,グラフ

 一般には,いろいろな関わりや縁を関係といい,無関係などという言葉もありますが,数学では, 個の集合 要素 変数とする命題関数 変数 の関係といいます。たとえば,
     2 ≦ ++ ≦ 7
は3変数 の関係の一例です。
 しかし,実際によく利用されるのは変域等しい2変数の場合なので、ふつうはそのような場合のみを考え,このとき,2変数 の関係 R を2項関係 (binary relations) といい,命題関数 R 正しいことを, の間に R という関係があるともいいます。
 2項関係には,変数の変域が整数の集合のときの
     「偶数」,
     「約数
などという関係もありますが,2つの実数 のどちらが大きいかという大小関係
や,2つの集合 ST の間の包含関係 , あるいは2つの直線 , 垂直であることを示す など,
     R
という形で表され,関係という名前がぴったりする例も多くあります。
 変域の扱い方にやや違いがありますが,2項関係 R は集合 X から X への対応と本質的には変わらず,命題関数 R が真であるような 全体の集合を,R の表す関係 R のグラフ (graph) という点もよく似ています。
 変換定義域終域同じ集合である写像なので,変換は2項関係の特別な場合であり,したがって,対応の特別な場合でもありますが,対応と同様に2項関係も写像であるとは限りません。
 (2019年6月21日改訂)