『関数の極限』(limit of function)

(D.) Limit von Funktion 
(Fra.) limite de la fonction
(Ita.) limite di funzione  

極限値,ε-δ法

 定義域終域実数集合であるような関数を考えます。
 関数 において,異なる値をとりながら限りなく に近づくとき, が一定の α に限りなく近づくならば,
      のとき → α
または,
     
と表し,α を に近づくときの の極限値 (limits) といいます。
 ただし,上の定義は直観的で分かりやすい反面,2度使われている“限りなく近づく”という言葉の意味があいまいなので,もっと正確に定義したいときは,ε-δ法と呼ばれる次の方法を用います。
    任意の正の数εに対し,
      「“  ならば 
       を満たすの数 δ が存在する
    ならば,“ のとき → α” であるとする。

 また, がある値 に限りなく近づくとき絶対値が限りなく大きくなる場合も,無限大という概念を用いて関数の極限を考えることができます。
 さらに,数列の極限の場合と同様に, → ± ∞ のときの関数 の極限を考えることもできます。
 (2019年6月19日改訂)