『関数の極限』(limit of function)

(D.) Limit von Funktion　
(Fra.) limite de la fonction
(Ita.) limite di funzione 　

極限値，ε-δ法

　定義域も終域も実数の集合であるような関数を考えます。
　関数 において， が と異なる値をとりながら限りなく に近づくとき， が一定の値 α に限りなく近づくならば，
　　　　　 → のとき → α
または，
　　　　　
と表し，α を が に近づくときの の極限値 (limits) といいます。
　ただし，上の定義は直観的で分かりやすい反面，２度使われている“限りなく近づく”という言葉の意味があいまいなので，もっと正確に定義したいときは，ε-δ法と呼ばれる次の方法を用います。
　　　　任意の正の数εに対し，
　　　　　　「“ 　ならば　 ”
　　　　　　　を満たす正の数 δ が存在する」
　　　　ならば，“ → のとき → α” であるとする。

　また， がある値 に限りなく近づくとき の絶対値が限りなく大きくなる場合も，無限大という概念を用いて関数の極限を考えることができます。
　さらに，数列の極限の場合と同様に， → ± ∞ のときの関数 の極限を考えることもできます。
　（2019年6月19日改訂）