『群』(group)

(D.) Gruppe (グルッペ) 
(Fra.) groupe (グループ)
(Ita.) gruppo(グルッポ)

単位元,逆元,アーベル群,有限群,無限群

 空集合ではない集合 G と,G任意の に対して Gであるような2項演算 があり,次の3つの公理をみたすとき,集合 G は演算 に関して群であるとか,演算 として群をなすなどといいます。
 (公理1)G の任意の3つの元 に対して
      
   が成り立つ。(結合法則の成立)
 (公理2)G の任意の元 に対して
      
   を満たす G の元 e存在する。(単位元の存在)
 (公理3)G の任意の元 に対して
      
   を満たす G の元 が存在する。(逆元の存在)
eG の単位元 (unit element) といい, の逆元 (inverse element) といいます。
 群は交換法則
      
を満たすとは限らないことに注意してください。群 G が交換法則をみたすとき,G を可換群といい,1826年にアーベルが初めて代数方程式に関する論文で可換群を考えたので,可換群をアーベル群ともいいます。アーベル群の演算は加法記号 + を用いて などと表すことがあります。
 群 G の元の個数が有限のとき G を有限群 (finite group),そうでないとき G を無限群 (infinite group) といいます。
  (2020年10月19日改訂)