集合 A,B があり,A の要素がすべて B に属するとき, A はB の部分集合であるといい, と表します。A が B の部分集合であることを A はB に含まれるともいいます。
部分集合の定義から,
“ であることを証明せよ”
という問題に対しては
という全称命題を証明すればよいことがわかりますが,このことから,空集合 φは,任意の集合の部分集合であること,すなわち,任意の集合 A に対して が成り立つことが論理的にわかることに注意してください。
を満たす
は存在しないからです。
の否定を
で表します。
かつ A ≠ B のとき,
A は B の「真部分集合」であるといいます。
また,命題
が成り立ちます。このうち (2) は,2つの集合が等しいことの定義なので,2つの集合が等しいことを厳密に証明したいとき利用できます。
(2020年7月13日改訂)