『部分集合』(subset)

(D.) Teilmenge   
(Fra.) sous-ensemble
(Ita.) sottoinsieme 

含まれる,真部分集合

 集合 AB があり,A要素がすべて B属するとき, AB の部分集合であるといい, と表します。AB の部分集合であることを AB に含まれるともいいます。
 部分集合の定義から,
     “ であることを証明せよ”
という問題に対しては
     
という全称命題を証明すればよいことがわかりますが,このことから,空集合 φは,任意の集合の部分集合であること,すなわち,任意の集合 A に対して が成り立つことが論理的にわかることに注意してください。 を満たす 存在しないからです。
 否定 で表します。
  かつ AB のとき, AB の「真部分集合」であるといいます。
 また,命題
   
成り立ちます。このうち (2) は,2つの集合が等しいことの定義なので,2つの集合が等しいことを厳密に証明したいとき利用できます。
  (2018年9月16日改訂)