『部分集合』(subset)

(D.) Teilmenge　　　
(Fra.) sous-ensemble
(Ita.) sottoinsieme　

含まれる，真部分集合

　集合 A，B があり，A の要素がすべて B に属するとき, A はB の部分集合であるといい， と表します。A が B の部分集合であることを A はB に含まれるともいいます。
　部分集合の定義から，
　　　　　“ であることを証明せよ”
という問題に対しては
　　　　　
という全称命題を証明すればよいことがわかりますが，このことから，空集合 φは，任意の集合の部分集合であること，すなわち，任意の集合 A に対して が成り立つことが論理的にわかることに注意してください。 を満たす は存在しないからです。
　 の否定を で表します。
　 かつ A ≠ B のとき， A は B の「真部分集合」であるといいます。
　また，命題
　　　
が成り立ちます。このうち (2) は，２つの集合が等しいことの定義なので，２つの集合が等しいことを厳密に証明したいとき利用できます。
　　（2020年7月13日改訂）